BIDANG KERUCUT

Pengertian Bidang Kerucut

    Pandang suatu garis lengkung yang termuat pada bidang V dan ada di titik P di luar  bidang V. Garis-garis yang ditarik melalui P dan titik-titik pada kurva itu membentuk suatu himpunan garis lurus yang merupakan bidang lengkung. Bidang lengkung yang terjadi disebut bidang kerucut yang selanjutnya disebut kerucut.

Perhatikan ilustrasi berikut : Misalkan k (garis lengkung dasar) terletak pada bidang V dan titik P di luar bidang V. kemudian lukis garis-garis melalui titik P dan titik pada k. Garis-garis tersebut akan membentuk suatu himpunan yan merupakan sebuah bidang lengkung seperti di bawah ini. Bidang lengkung yang terjadi adalah Bidang Kerucut.

         

                             

Kemudian pandang jika k merupakan sebuah lingkaran dan P terletak sebarang di luar V. Dengan cara yang sama seperti di atas, maka diperoleh sebuah bidang lengkung. Bidang lengkung yang terjadi disebut Kerucut Lingkaran Miring.

  

      

Sekarang pandang jika k merupakan sebuah dan proyeksi P terhadap V berimpit dengan pusat lingkaran. Dengan cara yang sama dengan di atas maka diperoleh sebuah bidang di atas maka diperoleh sebuah bidang lengkung yang disebut kerucut Lingkaran Tegak.

      Persamaan Bidang Kerucut 

Untuk menentukan persamaan bidang kerucut, dilakukan dengan cara sebagai berikut : Misalkan, diketahui persamaan garis lengkung dasar kerucut adalah 

dan puncak P(x₁, y_1, z₁)

Tentukanlah persamaan kerucut tersebut. Ambil sebarang titik 

pada garis lengkung k. ini berarti :

Sedangkan persamaan garis pelukis kerucut adalah persamaan garis yang melalui titik T dan P yaitu :

        Persamaan bidang kerucut diperoleh jika titik  dijalankan sepanjang kurva k. Artinya kita eliminasi  dan  dari persamaan 1, 2, 3.

Contoh :

Tentukan persamaan kerucut dengan puncak P(3, -1, -2) dan persamaan garis lengkung dasarnya adalah :

Jawab :

Ambil titik T(x_₀, y_₀, z_₀) sebarang pada garis lengkung dasar S. Ini berarti :

Kemudian persamaan garis pelukisnya adalah persamaan garis yang melalui  dan P(3, -1, -2)  adalah :

Persamaan bidang kerucut diperoleh jika koordinat titik T dijalankan. Artinya kita eliminasi  dan  dari persamaan (1), (2), dan (3)

Persamaan di atas dapat dinyatakan dalam bentuk :

Subsitusikan persamaan (3) ke persamaan (2), maka diperoleh :

Kemudian subsitusikan persamaan (3) dan persamaan (4) ke persamaan (1)

untuk

Berdasarkan (*) maka diperoleh persamaan kerucut yang diminta adalah :

Irisan Kerucut

Irisan kerucut adalah tempat kedudukan titik-titik sedemikian hingga perbandingan jarak titik ke suatu titik tertentu dan garis tertentu tetap harganya.

Perhatikan gambar 8, jika garis  I dan g berpotongan di titik O dan membentuk sudut sebesar . Jika garis I diputar mengelilingi garis g dengan besar sudut tetap maka lintasan hasil perputaran berupa kerucut lingkaran tegak. Garis g disebut garis sumbu dan garis I disebut garis pelukis, titik O disebut titik puncak kerucut dan disebut setengah sudut puncak.

Jika ada sebuah bidang V (bidang iris) memotong kerucut dengan membentuk sudut sebesar Y maka ada tujuh kemungkinan bentuk irisan bidang V dengan kerucut tersebut. 

1.    Jika bidang iris (penampang) melalui titik puncak O maka mempunyai kemungkinan:              

                         i.     Y >  irisannya berupa titik

                       ii.     Y >  irisannya berupa 2 garis berpotongan

                     iii.     Y =  irisannya berupa sebuah garis singgung

2.    Jika bidang iris (penampang) memotong kerucut tidak pada puncak maka mempunyai kemungkinan:

                        i.     Y = 90^oirisannya berupa lingkaran

                      ii.     Y =  irisannya berupa parabola

                    iii.     Y >  irisannya berupa elips

                    iv.     Y <  irisannya berupa hiperbola

Jika irisan kerucut ditinjau secara analitis maka irisan kerucut adalah tempat kedudukan himpunan titik yang perbandingan jarak titik tersebut dengan titik tertentu dan garis tertentu tetap nilainya. Nilai tetap ini selanjutnya disebut eksentrisitas dan disingkat e. Kemungkinan-kemungkinan irisan kerucut yang terjadi ditinjau dari nilai e adalah:

e = 1 maka irisan berupa parabola

0 < e < 1 maka irisan berupa elips

e > 1 maka irisan berupa hiperbola

e = 0 maka irisan berupa lingkaran

Contoh :

Carilah persamaan irisan kerucut dengan direktrik  2x - 3y + 6 fokusnya F(-1, -2) dan eksentrisitasnya e = 1

Jawab :

1.      Ambil sebarang titik pada irisan kerucut misal A( X_A, Y_A)

2.      Jarak A ke garis direktrik dengan P titik pada garis direktrik

Koordinat titik A dijalankan didapat

Jadi persamaan irisan kerucut dengan direktrik  2x - 3y + 6 fokusnya F(-1, -2) dan eksentrisitasnya e = 1 adalah