ELIPS

Definisi Elips Beserta Contoh Soal

Elips adalah salah satu contoh dari irisan kerucut dan dapat didefinisikan sebagai lokus dari semua titik, dalam satu bidang, yang memiliki jumlah jarak yang sama dari dua titik tetap yang telah ditentukan sebelumnya (disebut fokus).

Sebelum membahas mengenai persamaan elips, mari kita ingat-ingat kembali persamaan dari suatu lingkaran. Lingkaran yang memiliki titik pusat di titik (a, b) dan berjari-jari r memiliki persamaan (x – a)² + (y – b)² = r². Dengan membagi kedua ruas persamaan tersebut dengan r², kita akan memperoleh

Pada persamaan yang terakhir, nilai r pada masing-masing penyebut secara berturut-turut merupakan jarak vertikal dan horizontal dari titik pusat ke grafik. Lalu mungkin kita akan bertanya, bagaimana jika nilai dari penyebut-penyebut tersebut berbeda? Untuk menjawab pertanyaan tersebut, perhatikan persamaan berikut.

Pusat dari grafik persamaan di atas tetaplah (3, –2), karena a = 3 dan b = –2. Dengan mensubtitusi y = –2, kita dapat menentukan titik-titik yang memenuhi persamaan tersebut.

Hasil di atas, menunjukkan bahwa jarak horizontal titik pusat terhadap grafik adalah 4 satuan, yaitu jarak titik pusat (3, –2) terhadap titik-titik (–1, –2) dan (7, –2). Dengan cara yang serupa, untuk x = 3 kita akan mendapatkan (y + 2)² = 9, sehingga diperoleh y = –5 dan y = 1. Hal ini menunjukkan bahwa jarak vertikal titik pusat terhadap grafik adalah 3, yaitu jarak titik (3, –2) terhadap titik-titik (3, –5) dan (3, 1). Sehingga, dengan mengganti penyebut-penyebut yang tidak sama pada suatu persamaan lingkaran, kita akan mendapatkan suatu grafik memanjang dari lingkaran. Grafik seperti ini merupakan grafik dari suatu elips.

Untuk suatu elips, jarak terjauh antara dua titik pada elips disebut sumbu mayor, dengan titik-titik ujung sumbu mayor disebut titik-titik puncak elips. Ruas garis yang tegak lurus dan membagi sumbu mayor menjadi 2 bagian yang sama disebut sumbu minor.

§  Jika p > q, sumbu mayornya horizontal (sejajar dengan sumbu-x) dengan panjang 2p, dan sumbu minornya vertikal dengan panjang 2q.

§  Jika p < q, sumbu mayornya vertikal (sejajar dengan sumbu-y) dengan panjang 2q, dan sumbu minornya horizontal dengan panjang 2p.

Bentuk Standar dari Persamaan Elips Diberikan persamaan

Jika p ≠ q persamaan tersebut merepresentasikan grafik dari suatu elips dengan titik pusat (a, b). Nilai |p| merupakan jarak horizontal titik pusat dengan grafik, sedangkan |q| merupakan jarak vertikal titik pusat dengan grafik.

Contoh 1: Menggambar Grafik Elips Horizontal

Sketsalah grafik dari persamaan:

Pembahasan Dengan p ≠ q, persamaan di atas merupakan persamaan elips yang memiliki titik pusat di (2, –1). Jarak horizontal dari titik pusat ke grafik adalah p = 5 dan jarak vertikal dari titik pusat ke grafik adalah q = 3. Setelah memplot titik-titik yang bersangkutan dan menghubungkannya dengan kurva halus, kita dapat mensketsa grafik dari persamaan tersebut sebagai berikut.

Seperti persamaan lingkaran, persamaan elips juga dapat dinyatakan ke dalam bentuk polinomial. Untuk persamaan 25x² + 4y² = 100, kita tahu bahwa persamaan ini bukan merupakan persamaan lingkaran karena koefisien-koefisien dari x² dan y² tidak sama, dan titik pusat dari grafiknya merupakan titik (0,0) karena a = b = 0. Untuk menggambar grafik dari persamaan seperti itu, kita dapat mengubah persamaan tersebut menjadi bentuk standar.

Contoh 2: Menggambar Grafik Elips Vertikal

Untuk 25x² + 4y² = 100, (a) tulislah persamaan tersebut ke dalam bentuk standar dan tentukan titik pusat, nilai p, dan q-nya, (b) identifikasi sumbu mayor dan minornya dan labelilah titik-titik puncaknya, serta (c) gambarkan grafiknya.

Pembahasan Koefisien-koefisien dari x² dan y² tidak sama, dan 25, 4, dan 100 memiliki tanda yang sama (positif). Sehingga, persamaan tersebut merupakan persamaan elips dengan pusat di (0, 0). Selanjutnya kita ubah persamaan tersebut ke dalam bentuk standar.

Hasil di atas menunjukkan bahwa p = 2 dan q = 5, yang mengindikasikan bahwa sumbu mayornya vertikal dan sumbu minornya horizontal. Dengan (0, 0) sebagai titik pusat, maka perpotongan grafik terhadap sumbu-x ada di titik-titik (–2, 0) dan (2, 0), sedangkan titik-titik puncaknya (dan perpotongan grafik dengan sumbu-y) ada di titik-titik (0, –5) dan (0, 5). Sehingga grafik dari elips tersebut dapat ditunjukkan oleh gambar berikut.

Jika titik pusat dari elips tidak pada titik asal (0, 0), dalam persamaan bentuk polinomialnya terdapat suku-suku linear sehingga kita harus melengkapkan kuadrat dalam x dan y, kemudian menuliskannya ke dalam bentuk standar untuk menggambar grafiknya. Gambar di bawah ini mengilustrasikan bagaimana elips yang berpusat di titik (0, 0) digeser untuk menjadi elips tertentu.

Contoh 3: Melengkapkan Kuadrat untuk Menggambar Grafik Elips

Sketsalah grafik 25x² + 4y² + 150x – 16y + 141 = 0.

Pembahasan Koefisien-koefisien dari x² dan y² sama dan memiliki tanda yang sama (positif), dan mungkin kita berasumsi bahwa persamaan tersebut merepresentasikan suatu elips. Tetapi kita harus mengubah persamaan tersebut menjadi bentuk standar untuk meyakinkan asumsi tersebut.

Hasil di atas merupakan suatu elips vertikal yang memiliki titik pusat di (–3, 2), dengan p= 2 dan q = 5. Titik-titik puncaknya berada 5 satuan ke atas dan bawah dari titik pusat, dan titik-titik ujung dari sumbu minor berada 2 satuan ke kiri dan kanan dari titik pusat. Sehingga, grafik dari elips tersebut dapat digambarkan sebagai berikut.

Contoh Soal :

Tentukanlah titik pusat, jari-jari pendek dan panjang dari persamaan elips

 4x² +9y² +16x–18y–11 = 0
Penyelesaian :
4x² + 9y² + 16x - 18y – 11 = 0
4x² + 16x + 9y² - 18y – 11 = 0
4(x²+4x) + 9(y²-2y) – 11 = 0
4(x²+4x+4) + 9(y²-2y+1) = 11 + 16 + 9
4(x+2)2 + 9(y-1)2 = 36

Pusat elips (-2,1)

Jari-jari panjang a2 = 9,maka a = √9 = 3
Jari-jari pendek b2 = 4, maka b = √4 = 2

Unsur-unsur Elips
Elips adalah tempat kedudukan titik-titik yang jumlah jaraknya terhadap dua titik tertentu adalah tetap. Kedua titik tertentu itu disebut titik focus.



Dari gambar diatas, titik F₁ dan F₂ dan adalah titik focus elips dan A, B, C, D adalah titik puncak elips. Elips mempunyai dua sumbu simetri, yaitu :

1.    Garis yang memuat fokus dinamakan sumbu mayor. Pada gambar, sumbu mayor elips adalah AB.

2.    Garis yang tegak lurus sumbu mayor di titik tengah disebut sumbu minor. Pada gambar , sumbu minor elips adalah CD.

Sedangkan titik potong kedua sumbu elips itu disebut pusat elips.

Elips juga didefinisikan sebagaitempat kedudukan titik-titik yang perbandingan jaraknya terhadap suatu titik dan suatu garis yang diketahui besarnya tetap. ( e < 1 ).

Titik itu disebut fokus dan garis tertentu itu disebut direktriks.

Gambar diatas menunjukkan sebuah elips dengan :
–       Pusat elips O(0,0) ;
–       Sumbu simetri adalah sumbu x dan sumbu y ;
–       Fokus F₁ (-c,0) dan F₂ (c,0) ;
–       Sumbu mayor pada sumbu x, puncak A(-a,0) dan B(a,0) , panjang sumbu mayor = 2a
–       Sumbu minor pada sumbu y, puncak C(0,b) dan D(0,-b) , panjang sumbu minor = 2b

Persamaan Elips
Berikut ini akan diberikan persamaan elips berdasarkan letak titik pusat elips.
Persamaan elips yang berpusat di O(0,0)

Selain diketahui pusat elipsnya, persamaan elips juga ditentukan dari titik fokusnya.
Untuk elips yang berfokus pada sumbu x, persamaan elipsnya adalah

Dengan : – Pusat (0,0)
– Fokus F₁ (-c,0) dan F₂ (c,0)

Untuk elips yang berfokus pada sumbu y, persamaan elipsnya adalah

Dengan : – Pusat (0,0)
                – Fokus F₁ (0,-c) dan F₂ (0,c)
Dengan : – Pusat (0,0)
                – Fokus F₁ (0,-c) dan F₂ (0,c)
Catatan :
          

 

1.    Persamaan elips yang berpusat di P(α,β)

2.    Untuk elips yang berfokus pada sumbu utama yang terletak pada / sejajar sumbu x, persamaan elipsnya adalah

Dengan :
–       Pusat (α,β)
–       Titik fokus di F₁ (α-c, β) & F₂(α+c, β)
–       Titik puncak (α-a, β) & (α+a, β)
–       Panjang sumbu mayor  z = 2a
–       Panjang sumbu minor =2b
–       Persamaan direktriks
       

3.    Untuk elips yang berfokus pada sumbu utama yang terletak pada / sejajar sumbu y, persamaan elipsnya adalah

Dengan :
–       Pusat (α,β)
–       Titik fokus di F₁ (α,β-c) & F₂(α,β+c)
–       Titik puncak (α,β-a) & (α,β+a)
–       Panjang sumbu mayor=2a
–       Panjang sumbu minor=2b
–       Persamaan direktriks               

 

Contoh Soal :

Luas dari suatu elips dapat ditentukan oleh rumus L = πpq, dengan p dan q secara berturut-turut adalah jarak horizontal dan vertikal titik pusat dengan kurva elips. Tentukan luas elips yang memiliki persamaan 16x² + 9y² = 144.

Pembahasan 

Diketahui suatu persamaan elips 16x² + 9y² = 144, sehingga

Dari perhitungan di atas kita memperoleh p = 3 dan q = 4. Grafik elips tersebut dapat ditunjukkan oleh gambar berikut.

Sehingga, luas dari elips di atas dapat ditentukan sebagai berikut.