HIPERBOLA

 Definisi Hiperbola beserta Contoh Soal

Seperti kita ketahui, hiperbola merupakan salah satu keluarga irisan kerucut yang dibentuk akibat irisan bidang yang tegak lurus dengan selimut kerucut. Definisi Hiperbola Hiperbola adalah tempat kedudukan titik-titik yang selisih jaraknya terhadap dua titik tertentu tetap harganya. Catatan: dua titik tertentu itu disebut fokus hiperbola. Suatu hiperbola memiliki 2 bagian simetris yang disebut cabang, yang terbuka ke arah yang saling berlawanan. Walaupun cabang-cabang tersebut terlihat menyerupai parabola, nantinya kita akan menginvestigasi bahwa cabang-cabang tersebut dan parabola merupakan kurva yang sangat berbeda.

Perhatikan bahwa persamaan Ax² + By² = F merupakan persamaan suatu lingkaran apabila A = B dan juga merupakan persamaan suatu elips jika A ≠ B. Dua kasus tersebut memuat penjumlahan suku-suku berderajat dua. Selanjutnya mungkin kita akan bertanya-tanya, bagaimana jika persamaannya berupa pengurangan suku-suku berderajat dua. Perhatikan persamaan 9x² – 16y² = 144. Dari persamaan tersebut kita dapat mengetahui bahwa titik pusatnya adalah titik asal (0, 0) karena tidak ada pergeseran pada variabel x dan y (a dan b keduanya adalah 0). Dengan menggunakan metode perpotongan kurva, kita dapat menggambar grafik tersebut dan menghasilkan suatu grafik hiperbola.

Contoh 1: Menggambar Grafik Hiperbola Pusat

Gambarlah grafik persamaan 9x² – 16y² = 144 dengan menggunakan perpotongan kurva dan beberapa titik tambahan jika diperlukan.

Pembahasan Dengan substitusi x = 0, kita akan menentukan perpotongan kurva tersebut dengan sumbu-y.

Karena nilai y² tidak pernah negatif, kita dapat menyimpulkan bahwa kurva tersebut tidak memiliki titik potong terhadap sumbu-y. Selanjutnya, kita substitusi y = 0 untuk menentukan titik potongnya terhadap sumbu-x.

Dengan mengetahui bahwa grafik tersebut tidak memiliki titik potong terhadap sumbu-y, kita pilih nilai x yang lebih dari 4 dan kurang dari –4 untuk membantu sketsa grafik tersebut. Dengan menggunakan x = 5 dan x = –5 menghasilkan,

Dengan memplot titik-titik yang telah kita temukan di atas kemudian menghubungkannya dengan kurva halus, dan karena kurva tersebut tidak berpotongan dengan sumbu-y, maka grafik dari persamaan yang diberikan dapat digambarkan sebagai berikut.

Karena hiperbola di atas memotong sumbu simetri horizontalnya, maka hiperbola di atas disebut sebagai hiperbola horizontal. Titik-titik (4, 0) dan (–4, 0) disebut sebagai titik-titik puncak, dan titik pusat dari hiperbola selalu berada di tengah-tengah titik puncak parabola tersebut. Jika titik pusat hiperbola berada pada titik (0, 0), maka hiperbola tersebut disebut sebagai hiperbola pusat. Sebagai catatan, titik pusat hiperbola bukan merupakan bagian dari kurva, sehingga titik pusat hiperbola di atas, titik yang berwarna biru, digambarkan sebagai titik yang terbuka. Garis yang melewati titik pusat dan titik-titik puncak hiperbola disebut sebagai sumbu transversal, sedangkan garis yang melalui titik pusat dan tegak lurus dengan sumbu transversal ini disebut sebagai sumbu konjugasi.

Pada contoh 1, koefisien dari x² merupakan bilangan yang positif kemudian dikurangkan dengan 16y²: 9x² – 16y² = 144. Hasil yang diperoleh merupakan hiperbola horizontal. Jika suku-y² positif kemudian dikurangkan dengan suku yang memuat x², hasilnya merupakan suatu hiperbola vertikal. Lebih jelasnya perhatikan gambar berikut.

Garis Singgung Hiperbola

Garis singgung hiperbola merupakan kondisi dimana sebuah garis lurus memotong hiperbola pada satu titik. Ada beberapa kondisi yang sering dibahas dalam pembahasan garis singgung hiperbola. Kondisi pertama adalah mencari garis singgung hiperbola jika diketahui nilai gradien m. Kondisi yang kedua adalah menentukan garis singgung hiperbola jika diketahui satu titik yang terdapat pada hiperbola. Ketiga, menentukan garis singgung hiperbola jika diketahui satu titik di luar hiperbola.

Berikut ini adalah tiga kondisi garis singgung yang sering menjadi pembahasan.

Cara menentukan garis singgung pada hiperbola tergantung pada persamaan hiperbola yang diberikan dan apa yang diketahui pada soal. Cara menentukan gradien garis singgung pada hiperbola dengan gradien m, tentu akan berbeda dengan cara menentukan gradien garis singgung pada hiperbola yang melalui suatu titik. Melalui halaman ini, sobat idschool akan mempelajari berbagai cara menentukan garis singgung hiperbola.

Pembahasan pertama yang akan dibahas adalah garis singgung hiperbola dengan gradien m. Simak ulasan lebih jelasnya pada uraian materi di bawah.

Garis Singgung Hiperbola dengan Gradien m

Kemiringan dari sebuah garis lurus dinyatakan dalam sebuah nilai yang disebut gradien. Cara menentukan garis singgung hiperbola dengan gradien m tergantung pada bentuk hiperbola. Apakah hiperbola tersebut merupakan hiperbola vertikal atau horizontal. Selain itu, garis singgung pada hiperbola juga dipengaruhi letak pusat dan puncak hiperbola.

Perhatikan bentuk persamaan umum garis singgung hiperbola dengan gradien m untuk beberapa persamaan hiperbola yang diberikan pada tabel di bawah.

Contoh mencari persamaan garis singgung hiperbola dengan gradien m dapat dilihat pada bagian contoh soal dan pembahasan, terletak di bagian akhir. Sebelumnya, akan diulas terlebih dahulu garis singgung pada hiperbola jika diketahuo satu titik pada hiperbola. Simak ulasan materinya pada pembahasan di bawah.

Garis Singgung Hiperbola yang Melalui Suatu Titik

Pada pembahasan sebelumnya dibahas cara menentukan garis singgung hiperbola dengan gradien m. Berikutnya, akan dibahas persamaan garis singgung pada hiperbola jika diketahui satu titik yang terletak pada hiperbola. Secara umum, persamaan garis singgung hiperbola yang melalui satu titik pada hiperbola diberikan pada tabel di bawah.

Demikian, telah diberikan rumus umum persamaan garis singgung hiperbola. Baik untuk kasus yang diketahui nilai gradiennya atau diketahui titik pada hiperbola. Selanjutnya, simak contoh soal garis singgung hiperbola yang dilengkapi dengan pembahasannya.

Contoh Soal dan Pembahasan

Contoh 2 : contoh soal garis singgung hiperbola

Persamaan garis singgung hiperbola  

di titik (9, 2) adalah ….

Pembahasan:

Persamaan hiperbola 

dapat dibentuk menjadi persamaan seperti berikut