Garis dan Bidang di R3

A. Garis Dalam Ruang R³

Pada bidang, gradien digunakan untuk menentukan persamaan suatu garis. Dalam ruang, akan lebih mudah jika kita gunakan vektor untuk menentukan persamaan suatu garis.

Pada Gambar 1, perhatikan garis L yang melalui titik P(x₁, y₁, z₁) dan sejajar terhadap vektor v = <a, b, c>. Vektor v adalah vektor arah untuk garis L, dan a, b, dan cmerupakan bilangan-bilangan arah. Kita dapat mendeskripsikan bahwa garis L adalah himpunan semua titik Q(x, y, z) sedemikian sehingga vektor PQ sejajar dengan v. Ini berarti bahwa PQ merupakan perkalian skalar v dan kita dapat menuliskan PQ = tv, dimana t adalah suatu skalar (bilangan real). 

Dengan menyamakan komponen-komponen yang bersesuaian, kita mendapatkan persamaan-persamaan parametris suatu garis dalam ruang.

Teorema 1 Persamaan-persamaan Parametris Suatu Garis dalam Ruang

Garis L yang sejajar dengan vektor v = <v₁, v₂, v₃> dan melewati titik P(x₁, y₁, z₁) direpresentasikan dengan persamaan-persamaan parametris

Jika bilangan-bilangan arah a, b, dan c tidak nol, maka kita dapat mengeliminasi parameter t untuk mendapatkan persamaan-persamaan simetris garis.

Contoh 1: Menentukan Persamaan-persamaan Parametris dan Simetris

Tentukan persamaan-persamaan parametris dan simetris garis L yang melalui titik (1, –2, 4) dan sejajar terhadap v = <2, 4, –4>, seperti yang ditunjukkan Gambar 2.

Pembahasan Untuk menentukan persamaan-persamaan parametris garis tersebut, kita gunakan koordinat-koordinat x₁ = 1, y₁ = –2, dan z₁ = 4 dan arah a = 2, b = 4, dan c = –4.

Karena a, b, dan c semuanya tidak nol, persamaan simetris garis tersebut adalah

Persamaan-persamaan parametris atau simetris untuk garis yang diberikan tidaklah tunggal. Sebagai contoh, dalam Contoh 1, dengan memisalkan t = 1 dalam persamaan-persamaan parametris, kita akan mendapatkan titik (3, 2, 0). Dengan menggunakan titik ini dengan bilangan-bilangan arah a = 2, b = 4, dan c = –4 kita akan menghasilkan himpunan persamaan-persamaan parametris yang berbeda.

Contoh 2: Persamaan-persamaan Parametris Suatu Garis yang Melalui Dua Titik

Tentukan persamaan-persamaan parametris suatu garis yang melalui titik-titik (–2, 1, 0) dan (1, 3, 5). Pembahasan Pertama, kita gunakan titik-titik P(–2, 1, 0) dan Q(1, 3, 5) untuk menentukan vektor arah garis yang melalui P dan Q.

Dengan menggunakan bilangan-bilangan arah a = 3, b = 2, dan c = 5 dengan titik P(–2, 1, 0), kita dapat memperoleh persamaan-persamaan parametris

Catatan Karena t beragam untuk semua bilangan real, persamaan-persamaan parametris pada Contoh 2 digunakan untuk menentukan titik-titik (x, y, z) yang terletak pada garis. Secara khusus, untuk t = 0 dan t = 1 memberikan titik-titik awal yang diketahui, yaitu (–2, 1, 0) dan (1, 3, 5).

B. Bidang Dalam Ruang R³

Kita telah melihat bahwa persamaan suatu garis dalam ruang dapat diperoleh dari suatu titik pada garis dan vektor yang sejajar dengan garis tersebut. Sekarang kita akan melihat bahwa persamaan suatu bidang dalam ruang dapat diperoleh dari suatu titik pada bidang dan vektor normal (tegak lurus) terhadap bidang tersebut.

Perhatikan bidang yang memuat titik P(x₁, y₁, z₁) dan memiliki vektor normal tidak nol

seperti yang ditunjukkan Gambar 3. Bidang ini memuat semua titik Q(x, y, z) sedemikian sehingga vektor PQ ortogonal terhadap n. Dengan menggunakan hasil kali titik, kita dapat menuliskan persamaan berikut.

Persamaan ketiga di atas merupakan persamaan bidang dalam bentuk baku.

Teorema 2 Persamaan Baku Suatu Bidang dalam Ruang

Bidang yang memuat titik (x₁, y₁, z₁) dan memiliki vektor normal

dapat direpresentasikan oleh suatu bidang yang memiliki persamaan dalam bentuk baku

Dengan mengelompokkan kembali suku-suku pada persamaan di atas, kita mendapatkan bentuk umum persamaan suatu bidang dalam ruang.

Jika diberikan bentuk umum persamaan suatu bidang, dengan mudah kita dapat menentukan vektor normal terhadap bidang tersebut. Kita gunakan koefisien x, y, dan zuntuk menuliskan

Contoh 3: Menentukan Persamaan Bidang dalam Ruang

Tentukan persamaan umum bidang yang memuat titik-titik (2, 1, 1), (0, 4, 1) dan (–2, 1, 4).

Pembahasan Untuk menerapkan Teorema 2, kita membutuhkan suatu titik pada bidang dan vektor yang normal terhadap bidang tersebut. Terdapat tiga pilihan untuk titik pada bidang, tetapi tidak ada vektor normal yang diberikan. Untuk mendapatkan vektor normal, kita gunakan hasil kali silang vektor-vektor u dan v yang membentang dari titik (2, 1, 1) ke titik-titik (0, 4, 1) dan (–2, 1, 4), seperti yang ditunjukkan Gambar 4. Bentuk-bentuk komponen u dan v adalah

yang mengakibatkan

adalah normal terhadap bidang yang diberikan. Dengan menggunakan bilangan-bilangan arah pada n dan titik (x₁, y₁, z₁) = (2, 1, 1), kita dapat menentukan persamaan bidang tersebut adalah

Catatan Dalam Contoh 3, kita dapat menguji bahwa titik-titik yang diberikan, (2, 1, 1), (0, 4, 1) dan (–2, 1, 4), memenuhi persamaan bidang yang kita peroleh.

C. Sudut Arah Dan Bilangan Arah Pada R³



   

     

Perhatikan Gambar di atas,

Garis g membentuk sudut 𝛼 dengan sumbu x, sudut 𝛽 dengan sumbu y, sudut 𝛾 dengan sumbu z, maka sudut arah garis g ditulis dengan lambang [𝛼,𝛽,𝛾]

Ambil titik P pada garis g.

P₁= proyeksi P pada xoy

P₂ = proyeksi P₁ pada sumbu x

P₃ = proyeksi P₁ pada sumbu y

S = proyeksi P pada xoz

P₄ = proyeksi S pada sumbu z

T = proyeksi P pada yoz

      
Bilangan arah garis lurus adalah bilangan yang sebanding dengan cosinus sudut arah garis itu. Jika bilangan arah garis g yang ditulis dengan lambang [a, b, c].maka :
   Jadi,

B.  Sudut antara dua garis pada R³

Jika sudut-sudut arah antara dua garis telah disebutkan maka kita dapat menentukan sudut antara dua garis tersebut :

                                                 Gambar

   
a : b : c = cos 𝛼 : cos 𝛽 : cos 𝛾
Misal cos 𝛼 = 𝜆a, maka cos 𝛽 = 𝜆b dan cos 𝛾 = 𝜆c
Dari 𝑐𝑜𝑠2𝛼+𝑐𝑜𝑠2𝛽+𝑐𝑜𝑠2𝛾=1
⟺ 𝜆2 a2 + 𝜆2 b2 + 𝜆2 c2 = 1
⟺ 𝜆2 a2 + 𝜆2 b2 + 𝜆2 c2 = 1