Sistem Koordinat

Letak Titik Pada  R³

                  Untuk mewakili titik dalam ruang, pertama-tama kita memilih titik tetap O (asal) dan tiga garis diarahkan melalui O yang tegak lurus satu sama lain, yang disebut sumbu koordinat dan berlabel sumbu x, sumbu y, dan sumbu z. Biasanya kita berpikir sumbu x dan y sebagai horisontal dan sumbu z sebagai vertical.

Dapat diperhatikan orientasi sumbu seperti pada Gambar di bawah. Arah sumbu z ditentukan oleh aturan tangan kanan seperti yang digambarkan dalam Gambar kedua di bawah ini: Jika Anda meringkuk jari-jari tangan kanan Anda di sekitar sumbu z di arah rotasi 90 derajat berlawanan arah jarum jam dari sumbu x positif ke sumbu y positif, lalu jempol Anda menunjuk ke arah positif dari z-axis.

Ti                           Gambar 1.a                                                            Gambar 1.b

Tiga sumbu koordinat menentukan tiga bidang koordinat yang diilustrasikan  pada gambar pertama di bawah. Sumbu xy adalah sumbu yang mencakup sumbu x dan y; Sedangkan sumbu yz  mencakup sumbu y dan sumbu z begitu pula dengan sumbu  xz mencakup sumbu x dan z. Ketiga sumbu koordinat ini terbagi ruang menjadi delapan bagian, disebut oktan. Oktant pertama, di latar depan, ditentukan oleh sumbu positif.

n                                                             Gambar 2b                                                                                                                    

An    

P a    Andaikan P adalah sebuah titik di ruang, sedangkan a merupakan jarak sumbu yz ke P, dan b menjadi jarak dari sumbu xz ke P,  serta jarak dari sumbu xy ke P disimbolkan dengan c.  Koordint titik P diwakili oleh pasangan berurutan (a, b, c). Titik P (a, b, c) menentukan kotak persegi panjang seperti pada gambar kedua di bawah ini.

Sebagai ilustrasi numerik, titik-titik (−4, 3, −5) dan (3, −2, −6) diplot dalam dua gambar terakhir di bawah ini. Himpunan semua tripel pasangan berurutan  {(x, y, z) | x, y, z 2 R} membentuk sistem koordinat persegi panjang tiga dimensi.

hd                                                          Gambar 3a

Ga                                                            Gambar 3b

                                                              Gambar 3.c

G                                                                  Gambar 3.d

hjj      

gg     Contoh : 

         Gambar di atasmerupakanilustrasi dari koordinat (2,4,5)

          Jarak Dua Titik Pada R^3 
bjx       

                                                                Gambar 4  Jarak Dua Titik Pada R³

^jkj        Jika diketahui dua titik A dan B, maka untuk menentukan jarak antara A dan B atau panjang A̅B̅  dilakukannya cara berikut :
            A₁ = proyeksi titik A pada bidang xoy

B        B₁  = proyeksi titik B pada bidang xoy

A₂ = proyeksi titik A₁ pada sumbu x

B₂ = proyeksi titik B₁ pada sumbu x

S = proyeksi titik A pada B̅B̅₁

T = proyeksi titik B pada B̅₁̅ B̅₂

Pa        Pada  ∆ABS (siku-siku di S), menurut dalil Pythagoras

     AB² = AS² + BS²

↔    AB² = A₁ B₁² + (BB₁ SB₁)²

↔ AB² = A₁ B₁² + (BB₁ AA₁)²

↔ AB² = A₁ B₁² + (z_B – z_A)²…………………..(1)

  Pada ∆A₁B₁T (siku-siku di T), menurut dalil Pythagoras:

       A₁B₁² = A₁T² + B₁T²

  ↔    A₁B₁² = A₂B₂² + (B₁B₂ – TB₂)²

  ↔    A₁B₁² = (OB₂ – OA₂)² + (B₁B₂ - A₁A₂)²

  ↔    A₁B₁² = (X_B – X_A)² + (Y_B – Y_A)²…………………….(2)

    Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh:

D 

^jkk



            Letak Sebuah Titik Pada Garis Penghubung Dua Titik di R²
            

                                                            gambar 5 Letak Titik Pada Garis Penghubung Dua Titik di R²



            Jika diketahui dua titik A dan B dengan posisi yang telah ditentukan. Maka koordinat titik P dapat      dicari sebagai berikut:          

                Misal AP : PB = m : n

      Perhatikan gambar 8

      A₁ = proyeksi titik A pada sumbu x

      B₁ = proyeksi titik B pada sumbu x

      P₁ = proyeksi titik P pada sumbu x

      C = proyeksi titik A pada B̅B̅₁

      D = titik potong A̅C̅ dan P̅P̅₁

    ^h          Pada ∆ABC (siku-siku di C), dan P̅D̅ || B̅C̅
             Maka ∆ABC ̴ ∆APD (selidikilah!)
             Jadi, AC : AD = BC : PD = AB : AP
    

                        

                  Jika titik P terletak pada pertengahan A̅B̅ berarti PA : 
                  

              Letak Sebuah Titik Pada Garis Penghubung Dua Titik di R³

                  

                                                    Gambar 6 Letak Titik Pada Garis Penghubung Dua Titik di R³
           
  Ji     Jika diketahui dua titik A dan B serta titik P yang terletak di antara A dan B dengan posisi tertentu, maka koordinat titik P dapat ditentukan dengan cara berikut :
         Missal : PA : PB = m : n

A₁ = proyeksi titik A pada bidang xoy

B₁ = proyeksi titik B pada bidang xoy

P₁ = proyeksi titik P pada bidang xoy

         C = proyeksi titik A pada B̅B̅₁

D = titik potong A̅C̅ dan P̅P̅₁

A₂ = proyeksi titik A₁ pada sumbu x

B₂ = proyeksi titik B₁ pada sumbu x

P₂ = proyeksi titik P₁ pada sumbu x

E = proyeksi titik A₁ pada B̅₁̅ B̅₂

F = titik potong A̅₁̅E̅ dan P̅₁̅ P̅₂

A₃ = proyeksi titik A₁ pada sumbu y

B₃ = proyeksi titik B₁ pada sumbu y

P₃= proyeksi titik P₁ pada sumbu y

G = proyeksi titik A₁ pada B̅₁̅ B̅₃

H = titik potong A̅₁̅E̅ dan P̅₁̅ P̅₃

Perhatikan ∆ABC (siku-siku di C), dan P̅D̅ || B̅C̅