Tugas 3

1. Diketahui : g : 2x - y + 3 = 0 dan k : x + 3y - 2  = 0, maka tentukan persamaan garis bagi antara g dan k !
2. Diketahui titik A (5,1), B (3,-5) dan C(2,2) yang membentuk segitiga ABC. Tentukan jarak titik B ke AC serta hitunglah luas segitiga ABC!

Read More

Garis dan Bidang di R3

A. Garis Dalam Ruang R³

Pada bidang, gradien digunakan untuk menentukan persamaan suatu garis. Dalam ruang, akan lebih mudah jika kita gunakan vektor untuk menentukan persamaan suatu garis.

Pada Gambar 1, perhatikan garis L yang melalui titik P(x₁, y₁, z₁) dan sejajar terhadap vektor v = <a, b, c>. Vektor v adalah vektor arah untuk garis L, dan a, b, dan cmerupakan bilangan-bilangan arah. Kita dapat mendeskripsikan bahwa garis L adalah himpunan semua titik Q(x, y, z) sedemikian sehingga vektor PQ sejajar dengan v. Ini berarti bahwa PQ merupakan perkalian skalar v dan kita dapat menuliskan PQ = tv, dimana t adalah suatu skalar (bilangan real). 

Dengan menyamakan komponen-komponen yang bersesuaian, kita mendapatkan persamaan-persamaan parametris suatu garis dalam ruang.

Teorema 1 Persamaan-persamaan Parametris Suatu Garis dalam Ruang

Garis L yang sejajar dengan vektor v = <v₁, v₂, v₃> dan melewati titik P(x₁, y₁, z₁) direpresentasikan dengan persamaan-persamaan parametris

Jika bilangan-bilangan arah a, b, dan c tidak nol, maka kita dapat mengeliminasi parameter t untuk mendapatkan persamaan-persamaan simetris garis.

Contoh 1: Menentukan Persamaan-persamaan Parametris dan Simetris

Tentukan persamaan-persamaan parametris dan simetris garis L yang melalui titik (1, –2, 4) dan sejajar terhadap v = <2, 4, –4>, seperti yang ditunjukkan Gambar 2.

Pembahasan Untuk menentukan persamaan-persamaan parametris garis tersebut, kita gunakan koordinat-koordinat x₁ = 1, y₁ = –2, dan z₁ = 4 dan arah a = 2, b = 4, dan c = –4.

Karena a, b, dan c semuanya tidak nol, persamaan simetris garis tersebut adalah

Persamaan-persamaan parametris atau simetris untuk garis yang diberikan tidaklah tunggal. Sebagai contoh, dalam Contoh 1, dengan memisalkan t = 1 dalam persamaan-persamaan parametris, kita akan mendapatkan titik (3, 2, 0). Dengan menggunakan titik ini dengan bilangan-bilangan arah a = 2, b = 4, dan c = –4 kita akan menghasilkan himpunan persamaan-persamaan parametris yang berbeda.

Contoh 2: Persamaan-persamaan Parametris Suatu Garis yang Melalui Dua Titik

Tentukan persamaan-persamaan parametris suatu garis yang melalui titik-titik (–2, 1, 0) dan (1, 3, 5). Pembahasan Pertama, kita gunakan titik-titik P(–2, 1, 0) dan Q(1, 3, 5) untuk menentukan vektor arah garis yang melalui P dan Q.

Dengan menggunakan bilangan-bilangan arah a = 3, b = 2, dan c = 5 dengan titik P(–2, 1, 0), kita dapat memperoleh persamaan-persamaan parametris

Catatan Karena t beragam untuk semua bilangan real, persamaan-persamaan parametris pada Contoh 2 digunakan untuk menentukan titik-titik (x, y, z) yang terletak pada garis. Secara khusus, untuk t = 0 dan t = 1 memberikan titik-titik awal yang diketahui, yaitu (–2, 1, 0) dan (1, 3, 5).

B. Bidang Dalam Ruang R³

Kita telah melihat bahwa persamaan suatu garis dalam ruang dapat diperoleh dari suatu titik pada garis dan vektor yang sejajar dengan garis tersebut. Sekarang kita akan melihat bahwa persamaan suatu bidang dalam ruang dapat diperoleh dari suatu titik pada bidang dan vektor normal (tegak lurus) terhadap bidang tersebut.

Perhatikan bidang yang memuat titik P(x₁, y₁, z₁) dan memiliki vektor normal tidak nol

seperti yang ditunjukkan Gambar 3. Bidang ini memuat semua titik Q(x, y, z) sedemikian sehingga vektor PQ ortogonal terhadap n. Dengan menggunakan hasil kali titik, kita dapat menuliskan persamaan berikut.

Persamaan ketiga di atas merupakan persamaan bidang dalam bentuk baku.

Teorema 2 Persamaan Baku Suatu Bidang dalam Ruang

Bidang yang memuat titik (x₁, y₁, z₁) dan memiliki vektor normal

dapat direpresentasikan oleh suatu bidang yang memiliki persamaan dalam bentuk baku

Dengan mengelompokkan kembali suku-suku pada persamaan di atas, kita mendapatkan bentuk umum persamaan suatu bidang dalam ruang.

Jika diberikan bentuk umum persamaan suatu bidang, dengan mudah kita dapat menentukan vektor normal terhadap bidang tersebut. Kita gunakan koefisien x, y, dan zuntuk menuliskan

Contoh 3: Menentukan Persamaan Bidang dalam Ruang

Tentukan persamaan umum bidang yang memuat titik-titik (2, 1, 1), (0, 4, 1) dan (–2, 1, 4).

Pembahasan Untuk menerapkan Teorema 2, kita membutuhkan suatu titik pada bidang dan vektor yang normal terhadap bidang tersebut. Terdapat tiga pilihan untuk titik pada bidang, tetapi tidak ada vektor normal yang diberikan. Untuk mendapatkan vektor normal, kita gunakan hasil kali silang vektor-vektor u dan v yang membentang dari titik (2, 1, 1) ke titik-titik (0, 4, 1) dan (–2, 1, 4), seperti yang ditunjukkan Gambar 4. Bentuk-bentuk komponen u dan v adalah

yang mengakibatkan

adalah normal terhadap bidang yang diberikan. Dengan menggunakan bilangan-bilangan arah pada n dan titik (x₁, y₁, z₁) = (2, 1, 1), kita dapat menentukan persamaan bidang tersebut adalah

Catatan Dalam Contoh 3, kita dapat menguji bahwa titik-titik yang diberikan, (2, 1, 1), (0, 4, 1) dan (–2, 1, 4), memenuhi persamaan bidang yang kita peroleh.

C. Sudut Arah Dan Bilangan Arah Pada R³



   

     

Perhatikan Gambar di atas,

Garis g membentuk sudut 𝛼 dengan sumbu x, sudut 𝛽 dengan sumbu y, sudut 𝛾 dengan sumbu z, maka sudut arah garis g ditulis dengan lambang [𝛼,𝛽,𝛾]

Ambil titik P pada garis g.

P₁= proyeksi P pada xoy

P₂ = proyeksi P₁ pada sumbu x

P₃ = proyeksi P₁ pada sumbu y

S = proyeksi P pada xoz

P₄ = proyeksi S pada sumbu z

T = proyeksi P pada yoz

      
Bilangan arah garis lurus adalah bilangan yang sebanding dengan cosinus sudut arah garis itu. Jika bilangan arah garis g yang ditulis dengan lambang [a, b, c].maka :
   Jadi,

B.  Sudut antara dua garis pada R³

Jika sudut-sudut arah antara dua garis telah disebutkan maka kita dapat menentukan sudut antara dua garis tersebut :

                                                 Gambar

   
a : b : c = cos 𝛼 : cos 𝛽 : cos 𝛾
Misal cos 𝛼 = 𝜆a, maka cos 𝛽 = 𝜆b dan cos 𝛾 = 𝜆c
Dari 𝑐𝑜𝑠2𝛼+𝑐𝑜𝑠2𝛽+𝑐𝑜𝑠2𝛾=1
⟺ 𝜆2 a2 + 𝜆2 b2 + 𝜆2 c2 = 1
⟺ 𝜆2 a2 + 𝜆2 b2 + 𝜆2 c2 = 1

Read More

Sistem Koordinat

Letak Titik Pada  R³

                  Untuk mewakili titik dalam ruang, pertama-tama kita memilih titik tetap O (asal) dan tiga garis diarahkan melalui O yang tegak lurus satu sama lain, yang disebut sumbu koordinat dan berlabel sumbu x, sumbu y, dan sumbu z. Biasanya kita berpikir sumbu x dan y sebagai horisontal dan sumbu z sebagai vertical.

Dapat diperhatikan orientasi sumbu seperti pada Gambar di bawah. Arah sumbu z ditentukan oleh aturan tangan kanan seperti yang digambarkan dalam Gambar kedua di bawah ini: Jika Anda meringkuk jari-jari tangan kanan Anda di sekitar sumbu z di arah rotasi 90 derajat berlawanan arah jarum jam dari sumbu x positif ke sumbu y positif, lalu jempol Anda menunjuk ke arah positif dari z-axis.

Ti                           Gambar 1.a                                                            Gambar 1.b

Tiga sumbu koordinat menentukan tiga bidang koordinat yang diilustrasikan  pada gambar pertama di bawah. Sumbu xy adalah sumbu yang mencakup sumbu x dan y; Sedangkan sumbu yz  mencakup sumbu y dan sumbu z begitu pula dengan sumbu  xz mencakup sumbu x dan z. Ketiga sumbu koordinat ini terbagi ruang menjadi delapan bagian, disebut oktan. Oktant pertama, di latar depan, ditentukan oleh sumbu positif.

n                                                             Gambar 2b                                                                                                                    

An    

P a    Andaikan P adalah sebuah titik di ruang, sedangkan a merupakan jarak sumbu yz ke P, dan b menjadi jarak dari sumbu xz ke P,  serta jarak dari sumbu xy ke P disimbolkan dengan c.  Koordint titik P diwakili oleh pasangan berurutan (a, b, c). Titik P (a, b, c) menentukan kotak persegi panjang seperti pada gambar kedua di bawah ini.

Sebagai ilustrasi numerik, titik-titik (−4, 3, −5) dan (3, −2, −6) diplot dalam dua gambar terakhir di bawah ini. Himpunan semua tripel pasangan berurutan  {(x, y, z) | x, y, z 2 R} membentuk sistem koordinat persegi panjang tiga dimensi.

hd                                                          Gambar 3a

Ga                                                            Gambar 3b

                                                              Gambar 3.c

G                                                                  Gambar 3.d

hjj      

gg     Contoh : 

         Gambar di atasmerupakanilustrasi dari koordinat (2,4,5)

          Jarak Dua Titik Pada R^3 
bjx       

                                                                Gambar 4  Jarak Dua Titik Pada R³

^jkj        Jika diketahui dua titik A dan B, maka untuk menentukan jarak antara A dan B atau panjang A̅B̅  dilakukannya cara berikut :
            A₁ = proyeksi titik A pada bidang xoy

B        B₁  = proyeksi titik B pada bidang xoy

A₂ = proyeksi titik A₁ pada sumbu x

B₂ = proyeksi titik B₁ pada sumbu x

S = proyeksi titik A pada B̅B̅₁

T = proyeksi titik B pada B̅₁̅ B̅₂

Pa        Pada  ∆ABS (siku-siku di S), menurut dalil Pythagoras

     AB² = AS² + BS²

↔    AB² = A₁ B₁² + (BB₁ SB₁)²

↔ AB² = A₁ B₁² + (BB₁ AA₁)²

↔ AB² = A₁ B₁² + (z_B – z_A)²…………………..(1)

  Pada ∆A₁B₁T (siku-siku di T), menurut dalil Pythagoras:

       A₁B₁² = A₁T² + B₁T²

  ↔    A₁B₁² = A₂B₂² + (B₁B₂ – TB₂)²

  ↔    A₁B₁² = (OB₂ – OA₂)² + (B₁B₂ - A₁A₂)²

  ↔    A₁B₁² = (X_B – X_A)² + (Y_B – Y_A)²…………………….(2)

    Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh:

D 

^jkk



            Letak Sebuah Titik Pada Garis Penghubung Dua Titik di R²
            

                                                            gambar 5 Letak Titik Pada Garis Penghubung Dua Titik di R²



            Jika diketahui dua titik A dan B dengan posisi yang telah ditentukan. Maka koordinat titik P dapat      dicari sebagai berikut:          

                Misal AP : PB = m : n

      Perhatikan gambar 8

      A₁ = proyeksi titik A pada sumbu x

      B₁ = proyeksi titik B pada sumbu x

      P₁ = proyeksi titik P pada sumbu x

      C = proyeksi titik A pada B̅B̅₁

      D = titik potong A̅C̅ dan P̅P̅₁

    ^h          Pada ∆ABC (siku-siku di C), dan P̅D̅ || B̅C̅
             Maka ∆ABC ̴ ∆APD (selidikilah!)
             Jadi, AC : AD = BC : PD = AB : AP
    

                        

                  Jika titik P terletak pada pertengahan A̅B̅ berarti PA : 
                  

              Letak Sebuah Titik Pada Garis Penghubung Dua Titik di R³

                  

                                                    Gambar 6 Letak Titik Pada Garis Penghubung Dua Titik di R³
           
  Ji     Jika diketahui dua titik A dan B serta titik P yang terletak di antara A dan B dengan posisi tertentu, maka koordinat titik P dapat ditentukan dengan cara berikut :
         Missal : PA : PB = m : n

A₁ = proyeksi titik A pada bidang xoy

B₁ = proyeksi titik B pada bidang xoy

P₁ = proyeksi titik P pada bidang xoy

         C = proyeksi titik A pada B̅B̅₁

D = titik potong A̅C̅ dan P̅P̅₁

A₂ = proyeksi titik A₁ pada sumbu x

B₂ = proyeksi titik B₁ pada sumbu x

P₂ = proyeksi titik P₁ pada sumbu x

E = proyeksi titik A₁ pada B̅₁̅ B̅₂

F = titik potong A̅₁̅E̅ dan P̅₁̅ P̅₂

A₃ = proyeksi titik A₁ pada sumbu y

B₃ = proyeksi titik B₁ pada sumbu y

P₃= proyeksi titik P₁ pada sumbu y

G = proyeksi titik A₁ pada B̅₁̅ B̅₃

H = titik potong A̅₁̅E̅ dan P̅₁̅ P̅₃

Perhatikan ∆ABC (siku-siku di C), dan P̅D̅ || B̅C̅ 
                    

                       
                   

           

Read More